jueves, 15 de marzo de 2012

La leyenda del ajedrez

Cuenta la leyenda que había en la India un rey llamado Shirham, qué estaba permantentemente aburrido, triste, según se dice por la pérdida de su hijo en el campo de batalla Así pues, Shirham encargó, a un sabio llamado Lahur, que inventase un juego que le permitiese salir de su tedio.

ajedrezTranscuriido un tiempo, Lahur presentó al monarca un juego nuevo que se jugaba en un tablero dividido en 64 cuadros (8x8) sobre el cual se situaban fichas de distinto tipo con capacidades de movimiento distintas, intentando simular un campo de batalla. El juego en cuestión era el ajedrez que conocemos hoy en día.

Tan maravillado quedó Shirham por el nuevo juego que le dijo a Lahur que le pidiese lo que quisiera como recompensa de semejante invento. La sorpresa del rey fue mayúscula cuando escucho la petición del sabio, sólo le pedía arroz. Lahur le pidió: un grano de arroz por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última.

El monarca encantado por lo barato que le iba a resultar el juego tan genial, procedió a realizar el pago y......

Y NO HABÍA ARROZ EN TODO EL REINO PARA PAGAR LA DEUDA.

¿De qué cantidad de arroz estamos hablando?

Por cada casilla, tomamos el doble de granos de arroz que en la anterior, obteniendo una progresión aritmética de primer término 1 y razón 2.

a1=1, a2=2, a3=4, a4=8, a5=16, a6=32 ....

Y la suma de una progresión geométrica de razón r es:

Sn=(an*r -a1)/(r-1)

Siendo n=64, y r=2 se llega a:

S64=(a64*2 -1)/(2-1)=263*2-1=264-1

Por tanto Lahur había pedido:

18 446 744 073 709 551 615 granos de arroz

¿De cuántos kilos de arroz estamos hablando?

Un grano de arroz pesa aproximadamente unos 0.20 gramos, por lo que en un kg de arroz hay unos 5000 granos de arroz. Por lo que la deuda ascendía a

3689348814741910 kg de arroz

Los trailers grandes que vemos por las carreteras, tienen una capacidad de carga de 25 toneladas y miden 13,60 metros por lo que nos harían falta:

3689348814741910/25000=147573952589 trailers para transportar el arroz

Y todos estos trailers formarían una caravana de unos:

147573952589*13,60=2007005755210 metros= 2007005755 km


Pero no obstante, el rey Shirham, qué sabía muchas matemáticas, pagó su deuda.

¿Cómo pagó su deuda el rey?

El rey le dijo al sabio:

"Puesto que no tengo el arroz suficiente para pagar mi deuda, vamos a convertir la deuda en una deuda infinita, de manera que mis hijos seguirán pagando a tus hijos el arroz que necesiten, mis nietos a tus nietos y así garantizamos que se pagará la deuda en función de la siguiente sucesión: S=1+2+22+23+24+25+26.....+2n+... así hasta el infinito"

A el sabio, le pareció una buena solución ya que así el tenía aseguarado el sustento para él y para sus descendientes, pero una vez aceptado el trato el rey se sacó de la manga un truco matemático:

Si mi deuda es S y:

S=1+2+22+23+24+25+26.....+2n+...

Sacando 2 como factor común tenemos

S=1+2*(1+2+22+23+24+25+26.....+2n+...) por lo que

S=1+2*S de donde se obtiene

S=-1.

y concluyó el rey: "ME DEBES UN GRANO DE ARROZ"

El sabio, no sabía como rebatirle a el rey el razonamiento y acabó por pagarle el grano de arroz.

Obviamente, el razonamiento hecho por el rey es erroneo.

¿Dónde está el error que no supo ver el sabio?


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