Cuentos del cero

Cuentos del cero.

Números romanos

Pin

La comisión organizadora de la olimpiada regala un "pin" a quién sepa calcular el número de participantes en una prueba, sabiendo que son menos de 70y, que si los colocamos en filas de tres alumnos , nos sobra 1; si los ponemos en filas de cuatro alumnos nos sobran 2 y si lo hacemos en filas de cinco nos sobran 3. ¿Cuántos alumnos participan en la prueba?

Raíces

Eratóstenes y la medición de la Tierra

Eratóstenes de Cirene (273-194 a.C.)
La longitud del meridiano que pasa por los polos terrestres es de 39.942 km. La mejor medida del meridiano en la antigüedad data del año 235 a.C. y la llevó a cabo Eratóstenes, uno de los directores más ilustres de la Biblioteca de Alejandría.
Eratóstenes era de Cirene (Shahhat en la actualidad, en Libia). Nació en el año 273 a.C. en una rica familia, gracias a lo cual pudo tener una educación exquisita en Atenas. Amigo y admirador de Arquímedes fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría, cargo que ocupó más de 40 años. Esta Biblioteca era el mayor centro científico y cultural del mundo con casi 800.000 pergaminos (equivalentes a unos 100.000 libros).

Medición de la circunferencia terrestre
Eratóstenes tenía noticia de un hecho que cada año se producía en una ciudad de Egipto llamada Siena (hoy Asuán). Sucedía que cierto día del año, al mediodía, los obeliscos no producían sombra alguna. El agua de los pozos reflejaba como un espejo la luz del Sol. Hoy sabemos que esto es debido a que Asuán se encuentra en el Trópico de Cáncer y ese día marca el solsticio de verano (este hecho era festivo y muy celebrado por los lugareños).
Sin embargo, Eratóstenes observó que en Alejandría, ese mismo día, los obeliscos sí producían sombra. Eso sólo es posible si La Tierra era redonda, pues el Sol está tan lejos como para considerar que sus rayos inciden paralelamente sobre La Tierra.

Observa el gráfico de arriba donde se muestra el razonamiento al que llegó Eratóstenes.

• Al ser curva la superficie terrestre, en Siena el obelisco no produce sombra alguna, mientras que en Alejandría sí.
• Comprueba que los dos ángulos que se representan son idénticos (una línea recta corta dos rectas paralelas).

Eratóstenes pensó que midiendo la sombra de un obelisco en Alejandría, el mismo día y a la misma hora en que en Siena no proyectaba ninguna sombra, y sabiendo la distancia entre Alejandría y Siena, podría calcularse la circunferencia terrestre, pues da la casualidad de que Siena está al Sur de Alejandría (prácticamente en el mismo meridiano).

Sin embargo, se enfrentaba a dos problemas:

1.- ¿Cómo diablos iba a averiguar la distancia exacta entre Siena y Alejandría?
2.- Si en esa época no había relojes (ni teléfono), ¿cuándo medir la sombra en Alejandría?, pues ha de ser en el preciso momento en que, en Siena, los obeliscos no producen sombra.

¿Se te ocurre alguna idea para ayudar a nuestro pobre Eratóstenes?

Paso 1: Distancia entre Siena y Alejandría
Eratóstenes ordenó (y pagó de su propio bolsillo) a los jefes de caravanas que midieran la distancia entre las dos ciudades. Para ello debían poner esclavos a contar las vueltas de rueda que daban los carros, a extender largas cuerdas a lo largo del camino, a contar pasos, etc. La dificultad radica en que estamos hablando de dos localidades separadas por más de 700 km.
Le salió una media de 5.000 estadios. Cada estadio equivalía a 157’5 metros, por lo que la distancia entre las ciudades la estimó en 787’5 km.

Paso 2: Medición de la sombra
Llegado el día, midió la sombra de un palo que de forma perfectamente vertical había colocado en los jardines de la biblioteca. ¿Cómo saber en qué momento medir la sombra? La respuesta es fácil, sobre el mediodía (cuando el sol está en su punto más alto) se mide la sombra varias veces. La menor sombra corresponderá al momento en que el Sol está en el cénit.

Cálculo matemático tg β = sombra / altura = 0,5053 / 4 = 0,126325 β = arctg 0,126325 = 7,2º

• Al dividir la sombra entre la altura del palo, obtuvo un ángulo de 7,2º.
• Después planteó una sencilla regla de tres. Al multiplicar 787,5 km. x 360º y dividir el resultado entre 7,2º, calculó que la circunferencia terrestre medía 39.375 km.

¡Qué maravilla! Si la medida real es de 39.942 km, el obtuvo una medida de 39.375 km. (sólo se equivocó en 567 km). ¡Qué resultado tan increíble!, teniendo en cuenta la tecnología con la que trabajó para medir distancias y ángulos.

Errores cometidos

Los errores de Eratóstenes fueron muy sutiles y casi inevitables:

Error 1.- La distancia entre Asuán y Alejandría es de 729 km. (4.628 estadios); no de 787’5 km.
Error 2.- Las dos ciudades no están en el mismo meridiano, sino que difieren en unos 3º de longitud.
Error 3.- La medida exacta del ángulo de la sombra en Alejandría es: 7,08º (no 7,20º).

Cometió estas inexactitudes que a lo mejor hasta se compensaron, pero sin duda la labor de medición y el resultado obtenido hace más de 2.240 años fue impresionante.

¿No te parece?

Descifrar números mayas

Lucía. 1ºESO-D

Krisztina.1º ESO-D

Con ayuda de este tablero podemos transformar números mayas a nuestro sistema de numeración. En el tablero se observa cómo funciona un sistema de numeración vigesimal. Coloca en la primera columna el número maya, busca a que número arábigo corresponde cada casilla y haz las multiplicaciones para obtener el resultado

La cuerda

Si mido un rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno, si lo mido de tres en tres, me sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres, si lo mido de cinco en cinco me sobran cuatro y si lo mido de seis en seis me sobran cinco.
Sabiendo que tiene menos de 100 metros,¿podrías decir su longitud?

El hombre que calculaba

El hombre que calculaba.

Pisadas

Pedro midió el largo del terreno de su tío con pasos de 54 cm. Después lo midió el tío con pasos de 72 cm. Quedaron marcadas en total 61 pisadas, pero a veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Pedro y otra de su tío. ¿Cuál es el largo del terreno?

La paradoja del cuadrado

María 3ºESO-D. Catral

Descubrimiento de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

El diablo de los números.

El diablo de los números.
Actividades

El diablo de los números. La sexta noche

Capítulo 6 La sexta noche -Probablemente crees que soy el único -dijo el diablo de los números cuando volvió a aparecer. En esta ocasión estaba sentado en una silla plegable, en medio de un enorme campo de patatas. -¿El único qué? -preguntó Robert. -El único diablo de los números. Pero no es cierto. Soy sólo uno de muchos. Allá de donde vengo, en el paraíso de los números, hay montones de nosotros. Por desgracia no soy el más importante. Los verdaderos jefes están sentados en sus habitaciones, pensando. De vez en cuando uno se ríe y dice algo parecido a: «Rn igual a hn dividido entre función de n por f de n, abre paréntesis, a más theta, cierra paréntesis», y los otros asienten comprensivos y ríen con él. A veces ni si-quiera sé de qué hablan. -Pues para ser un pobre diablo eres bastante engreído -objetó Robert-. ¿Qué quieres, que te compadezca ahora? -¿Por qué crees que me hacen andar por ahí por las noches? Porque los señores de ahí arriba tienen cosas más importantes que hacer que visitar a principiantes como tú, mi querido Robert. -O sea que puedo decir que tengo suerte de poder soñar por lo menos contigo. -Por favor, no me malinterpretes -dijo el amigo de Robert, porque entre tanto se habían hecho ca-si viejos amigos-, lo que cavilan los señores de ahí arriba no es realmente malo. Uno de ellos, al que aprecio especialmente, es Bonatschi. A veces me cuenta lo que va averiguando. Es italiano. Por desgracia hace mucho que ha muerto, pero eso no significa nada para un diablo de los números. Un tipo simpático, el viejo Bonatschi. Por otra parte, fue uno de los primeros que entendieron el cero. Desde luego no lo inventó, pero en cambio se le ocurrió la idea de los números de Bonatschi. ¡Deslumbrante! Como la mayoría de las buenas ideas, su invento empieza con el uno... ya sabes. Más exactamente, con dos unos: 1 + 1 = 2. »Luego coge las dos últimas cifras y las sumas así que... y luego... otra vez las dos últimas... etcétera. -Hasta el aburrimiento. -Naturalmente. Entonces, el diablo de los números empezó a salmodiar los números de Bonatschi; sentado en su silla plegable, cayó en una especie de canturreo. Era la más pura ópera de Bonatschi: -Uno- uno- dos- tres- cinco- ocho- trece- veintiuno- treintaycuatro- cincuentaycinco- ochentaynueve- cientocuarentaycuatro- doscientostreintaytres- trescientossetentaysiete... Robert se tapó los oídos. -Ya paro -dijo el anciano-. Quizá sea mejor que te los escriba, para que puedas aprendértelos. -¿Dónde? -Donde tú quieras. Quizá en un pergamino. Desatornilló el extremo de su bastón y sacó un fino rollo de papel. Lo tiró al suelo y le dio un golpecito. ¡Es increíble la cantidad de papel que había dentro del bastón! Una interminable serpiente que se desenrolló cada vez más y corrió más y más lejos por los surcos del campo, hasta que su extremo desapareció en la lejanía. Y, naturalmente, en el rollo estaba toda la serie de Bonatschi con sus números: A partir de ahí, los números estaban tan lejos y eran tan pequeños que Robert ya no pudo leerlos. -Bueno, ¿y qué? -preguntó Robert. -Si sumas los cinco primeros y añades uno, te sale el séptimo. Si sumas los seis primeros y añades uno, te sale el octavo. Etcétera. -Ya -dijo Robert. No parecía especialmente entusiasmado. -Pero también funciona si te saltas siempre un número de Bonatschi, sólo tienes que tener siempre el primer uno -dijo el diablo de los números. »Mira: (y ahora te saltas uno) (y vuelves a saltarte uno) (y te saltas uno más) sumas esos cuatro, ¿y qué te sale? -Treinta y cuatro -dijo Robert. -O sea el número de Bonatschi que sigue al 21. Si te resulta demasiado trabajoso, también se puede hacer saltando. Por ejemplo, coges el número de Bonatschi número cuatro y lo haces saltar. El cuarto es el 3, y ¿cuánto es 3 2 ? -Nueve -dijo Robert. -Luego coges el siguiente número de Bonatschi, es decir, el quinto, y lo haces saltar. -5 2 = 25 -dijo Robert sin titubear. -Bien, y ahora los sumas. -Otro Bonatschi -exclamó Robert. -Y además, como cuatro más cinco son nueve, el noveno -dijo el anciano frotándose las manos. -Comprendo. Todo estupendo, pero dime para qué sirve. -Oh -dijo el diablo de los números-, no te creas que las Matemáticas son sólo cosa de matemáticos. Tampoco la Naturaleza sale adelante sin números. Incluso los árboles y los moluscos saben contar. -Tonterías -dijo Robert-. ¡Me quieres dar gato por liebre! -También los gatos, supongo. Todos los anima-les. Por lo menos, se comportan como si tuvieran los números de Bonatschi en la cabeza. Es posible que hayan comprendido cómo funcionan. -No me lo creo. -O las liebres. Tomemos mejor las liebres, son más espabiladas que los moluscos. ¡En este campo de patatas tiene que haber liebres! -Yo no veo ninguna -dijo Robert. -Ahí hay dos. De hecho, dos diminutas liebres blancas se acercaron dando brincos y se sentaron a los pies de Robert. -Creo -dijo el anciano- que son un macho y una hembra. Así que tenemos una pareja. Como sabes, todo empieza con el uno. -Quiere convencerme de que sabéis contar -dijo Robert a las liebres-. ¡Esto es demasiado! No le creo una sola palabra. -Ah, Robert, qué sabrás tú de liebres -dijeron las dos liebres al unísono-. ¡No tienes ni idea! Probablemente te has creído que somos liebres de invierno. -Liebres de invierno, claro -repuso Robert, que quería demostrarles que no era tan ignorante como parecía-. Solamente en invierno hay liebres de invierno. -Justo. Nosotras sólo somos blancas mientras somos pequeñas. Pasa un mes hasta que llegamos a ser adultas. Luego nuestra piel se vuelve parda, y queremos tener hijos. Hasta que vienen al mundo, chico y chica, pasa cosa de un mes más. ¡Toma nota de esto! -¿Sólo vais a tener dos? -dijo Robert-. Yo siempre había pensado que las liebres tenían un montón de hijos. -Naturalmente que tenemos un montón de hijos -dijeron las liebres-, pero no de un golpe. Ca-da mes dos, con eso basta. Y nuestros hijos harán exactamente lo mismo. Ya lo verás. -No creo que nos quedemos tanto tiempo aquí. Para entonces me habré despertado hace mucho. Mañana temprano tengo que ir al colegio. -No hay problema -intervino el diablo de los números-. En este campo de patatas el tiempo va mucho más rápido de lo que tú piensas. Un mes dura sólo cinco minutos. Y para que lo creas he traído un reloj de liebre. ¡Mira! Y con estas palabras, sacó un reloj de bolsillo considerablemente grande. Tenía dos orejas de liebre, pero sólo una aguja. -Además, no marca horas, sino meses. Cada vez que pasa un mes, suena el despertador. Cuando aprieto el botón de arriba empieza a correr. ¿Lo hago? -Sí -gritaron las liebres. -Bien. El diablo de los números apretó, el reloj hizo tic-tac, y la aguja empezó a desplazarse. Cuando hubo llegado al uno, sonó el timbre. Había pasa-do un mes, las liebres se habían hecho mucho más grandes y su piel había cambiado de color... ya no eran blancas, se habían vuelto pardas. Cuando la aguja llegó al dos, habían pasado dos meses, y la liebre trajo al mundo dos diminutas liebres blancas. Ahora había allí dos parejas de liebres, las jóvenes y las viejas. Pero estas últimas aún no estaban satisfechas. Querían tener más hijos, y cuando la aguja llegó al tres volvió a sonar el timbre, y la liebre vieja trajo otras dos más al mundo. Robert contó las parejas de liebres. Ahora eran tres: las mayores (pardas), las crías de la primera camada, que entre tanto también habían crecido (y se habían vuelto pardas), y las más jóvenes, con su piel blanca. Entonces la aguja se movió hasta el cuatro, y ocurrió lo siguiente: la liebre mayor trajo al mundo la siguiente parejita, sus primeros hijos también; los segundos tampoco habían sido perezosos, así que ahora eran cinco parejas las que brincaban por el sembrado: una pareja de padres, tres parejas de hijos y una pareja de nietos. Tres parejas eran pardas, y dos blancas. -Yo en tu lugar -dijo el diablo de los números-ya no intentaría diferenciarlas. ¡Vas a tener bastante con contarlas! Cuando el reloj hubo llegado al cinco, Robert ya se las arreglaba bastante bien. Ahora había ocho pares de liebres. Cuando sonó por sexta vez, ya había trece... ¡Un barullo increíble, pensó Robert, adónde irá a parar todo esto! Pero incluso la séptima vez averiguó la cifra: eran exactamente 21 parejas. -¿Se te ocurre algo, Robert? -preguntó el diablo de los números. El reloj de liebre avanzaba implacable. « ¡Socorro!», gritó Robert, «esto nunca se acaba. Miles de liebres... ¡esto ya no tiene gracia, esto es una pesadilla!». -Naturalmente -respondió Robert-. Son números de Bonatschi: Pero, mientras lo decía, habían venido al mundo montones de liebres blancas, que caracoleaban entre las muchas pardas y blancas que brincaban en el campo. No podía verlas y contarlas a todas. El reloj de liebre avanzaba implacable. Hacía mucho que la aguja había empezado su segunda vuelta. -¡Socorro! -gritó Robert-. Esto no se acaba. ¡Miles de liebres! ¡Es espantoso! -Para que veas cómo funciona la cosa, he traído un listado de liebres para ti. En él podrás ver lo que ha pasado entre las cero y las siete horas. -Hace mucho que pasaron las siete -exclamó Robert-. Ahora ya deben de ser por lo menos más de mil. -Son exactamente 4.181, y ahora mismo, es decir, dentro de cinco minutos, serán 6.765. -¿Quieres seguir así, hasta que la Tierra entera esté cubierta de liebres? -preguntó Robert. -Oh, eso no llevaría mucho tiempo -dijo el anciano, sin mover un músculo-. Unas pocas vueltas más de la aguja y habrá ocurrido. -¡Por favor, no! -pidió Robert-. ¡Es una pesadilla! ¿Sabes?, no tengo nada contra las liebres, me gustan incluso, pero lo que es excesivo es excesivo. Tienes que detenerlas. -Encantado, Robert. Pero sólo si admites que las liebres se comportan como si se hubieran aprendido los números de Bonatschi. -Sí, bien, por el amor de Dios, lo admito. Pero date prisa, o acabarán subiéndosenos a la cabeza. El diablo de los números pulsó dos veces la corona del reloj de liebre, y éste empezó a funcionar hacia atrás. Cada vez que sonaba el timbre las liebres disminuían, y al cabo de unas pocas vueltas la aguja volvía a marcar cero. Había dos liebres en el vacío campo de patatas. -¿Qué pasa con éstas? -preguntó el anciano-. ¿Quieres conservarlas? -Mejor que no. De lo contrario, volverán a empezar desde el principio. -Sí, eso es lo que pasa con la Naturaleza -dijo el anciano, columpiándose complacido en su silla plegable. -Eso es lo que pasa con Bonatschi -replicó Robert-. Con tus números todo va siempre a parar al infinito. No sé si me gusta. -Como has visto, a la inversa ocurre exacta-mente igual. Hemos vuelto a aterrizar donde empezamos, en el uno. Y así, se separaron pacíficamente, sin preocuparse de qué ocurriría con la última pareja de liebres. El diablo de los números se fue con Bonatschi, su viejo conocido del paraíso de los números, y con los demás, que tramaban allí nuevas diabluras, y Robert siguió durmiendo, sin soñar, hasta que sonó el despertador. Se alegró de que fuera un despertador corriente, y no un reloj de liebre.

Interpretar números mayas

En la numeración maya, los valores de cada posición aumentan su valor 20 veces desde la posición que está abajo hacia arriba ( 1, 1 x 20, 20 x 20, 20 x 20 x20 y así sucesivamente)

* Para interpretar números mayas realiza los siguientes pasos:

1. Escribe el número en una tabla de posición maya o vigesimal.
2. Multiplica cada número por el valor de la posición en que se encuentra.
3. Suma los resultados de las multiplicaciones y obtendrás el número buscado.

Aquí tienes un ejemplo:

Puedes ayudarte de esta tabla para facilitarte el trabajo:

Completa la columna amarilla de la tabla anterior con las fichas que tu elijas colocadas en el orden que prefieras. A continuación tienes las fichas correspondiente a los 19 primeros numéros mayas ( del 0 al 19).
Puedes probar primero con números de dos cifras, después de tres y así sucesivamente hasta que te familiarices con este sistema de numeración.

Ahora vamos a descifrar este enigma. ¿Qué números nos han escrito los Mayas?

Primeros números Mayas

El sistema de numeración Maya sólo utiliza tres signos: el punto, la barra y el símbolo del cero que es una especie de puño cerrado o concha.
Si combinamos los puntos y las barras podemos escribir los 19 primeros números.
El uno está representado por un punto y combinamos 2, 3 y 4 puntos, que representan los números 2, 3 y 4 respectivamente.
La barra representa el número 5, y se construyen los siguientes numerales con combinaciones de barras y puntos.
Se utilizan una, dos o hasta tres barras, combinadas con uno, dos, tres o hasta cuatro puntos.

Existen tres reglas para la escritura:
R1. Combinamos los puntos, de 1 a 4 puntos.
R2. Cinco puntos forman una barra.
R3. Combinamos las barras, de 1 a 3 barras