Cuentos y matemáticas

Cuentos matemáticos.

Números poligonales.

Aquí tienes una conexión entre números y Geometría, los llamados números poligonales: triangulares, cuadrangulares, pentagonales….




a. Halla los tres siguientes números poligonales de cada uno de los tipos que figuran arriba: triangulares, cuadrangulares y pentagonales.

b. Obtén el término general de la sucesión de los números cuadrangulares.

c. ¿Cuál es el término general de la sucesión de números triangulares?

d. Calcula el término general de la sucesión de números pentagonales.

e. Calcula los diez primeros términos de la sucesión de números hexagonales.

f. ¿Qué número ocupa el lugar 106 en esta sucesión?

g. ¿Cuál es el término general de esta sucesión?

Sucesiones sencillas

Cuando empezamos a trabajar con sucesiones en la clase de matemáticas nos planteamos donde podemos encontrar sucesiones. Empezaremos por algunos ejemplos muy sencillos.

Cada vez que paseamos por la calle nos encontramos sucesiones formadas por los números de las puertas de las casas.
También podemos construir sucesiones con los pliegues de una hoja de papel. Cada pliegue representa un trozo de papel que corresponde a una fracción numérica. Si escribimos de manera ordena los diferentes números que vamos obteniendo en los sucesivos pliegues construiremos una sucesión de la forma:
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/46, 1/32, 1/64, ...
La siguiente hoja muestra con colores los diferentes términos de la sucesión.
A partir de un triángulo equilátero también podemos construir una sucesión. Para ellos lo que vamos a hacer es unir los puntos medios de los lados del triángulo, aparecen así 4 triángulos equiláteros contenidos en el triángulo inicial. Volvemos a repetir el proceso en los 4 triángulos anteriores y obtenemos 16 triángulos equiláteros, y así sucesivamente. Si escribimos en forma de fracción la parte correspondiente a cada uno de estos triángulos obtenemos la sucesión:
1, 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, ...
En el siguiente dibujo se observa el procedimiento que hemos seguido para construir esta sucesión.
Actividades:

1. ¿De qué tipo son las sucesiones que hemos mostrado en los ejemplos anteriores?
2. ¿Cuál es la razón o la diferencia en cada una de estas sucesiones?
3. Escribe el término general de estas sucesiones.
4. ¿Cuál sería el término 50 en cada una de ellas?
6. Calcula la suma de los 50 primeros términos de cada una de ellas.

El "Obrim" y las matemáticas.

Durante dos semanas hemos tenido la exposición "Obrim una finestra al món" en nuestro instituto. Yo ya había tenido la oportunidad de participar en cursos anteriores en este proyecto pero para mis alumn@s era algo totalmente nuevo. Pronto se dejaron cautivar por la magia del "Obrim" y unos a otros se han ido contagiando por la ilusión de poder compartir su trabajo con compañeros de otros centros. Despertar en ellos la curiosidad ha sido sencillo y esas ganas de descubrir cosas nuevas les ha llevado a mostrar su preocupación e interés por todo lo que ocurre en su entorno más cercano. A través de sus dibujos han mostrado cuáles son sus inquietudes y qué problemas actuales son los que a ellos les gustaría que se trabajaran en el aula.
Cada una de las viñetas realizadas por los alumn@s muestra su sensibilidad con respecto a temas tan variados como relaciones países del Norte y del Sur, sostenibilidad, violencia de género, acoso escolar, problemas ambientales, etc. Todas estas viñetas invitan a los alumnos a reflexionar sobre todas estas cuestiones y que mejor herramienta que las matemáticas para ayudarnos a analizar estas situaciones. Sólo necesitamos buscar información relacionada con los dibujos y poner cifras a todas estas inquietudes. A partir de aquí generamos un problema matemático con el que el alumno se siente identificado y por el que siente curiosidad por encontrar una solución a las cuestiones planteadas. Ahora para los alumn@s si tiene sentido interpretar los resultados obtenidos en la resolución de su problema matemático lo que hace que se sientan más motivados para trabajar en clase de matemáticas.
Para poder llevar a cabo la resolución de todas estas cuestiones el trabajo en grupo es muy importante. La actividad resulta mucho más motivadora cuando se comparte con los compañeros y el trabajo en equipo invita a la reflexión y a que las conclusiones se analicen teniendo en cuenta las diferentes opiniones de los compañeros.
Las clases son mucho más participativas y todos los alumn@s contribuyen con sus pequeñas aportaciones a que surjan nuevas ideas. Son ellos la primera pieza del engranaje que hace que despertemos y que vayamos enlazando unas cosas con otras.
El "Obrim" nos ha proporcionado la oportunidad de abrir nuestra pequeña ventana más allá del aula para poder entrelazar todos esos contenidos matemáticos, que a veces resultan poco atractivos, con todo lo que nos rodea.
A través de las clases de matemáticas seguimos aportando nuestro granito de arena para entre todos conseguir el mundo que soñamos.

La tesis de Malthus

* Observa los números 1,2,3,4,5

¿Cuál pondrías a continuación? El 6, correcto

*Considera ahora los números 1, 2, 4, 8,16,32

¿Cuál pondrías a contunuación?. 64 claro, el doble de 32

En matemáticas se dice que la primera sucesión de números forma una progresión aritmética de diferencia 1 y la segunda una progresión geométrica de razón (tasa de variación) 2 Como puedes observar el crecimiento de la progresión geométrica es muchísimo más rápido que el de la aritmética

Thomas Robert Malthus (1876-1834) en su libro "Primer Ensayo sobre la población" (1798) utilizó estas observaciones para revestir con un aire científico sus ideas sobre las causas de la pobreza y el hambre en el mundo. La realidad es que, aunque hace muchas suposiciones que han demostrado ser falsas, sus teorías que contribuyen a diluir la responsabilidad de los paises ricos tienen mucho predicamento en la actualidad

La tesis de Malthus

Malthus expresó su tesis en los siguientes términos:

"Afirmo que:

- La capacidad de crecimiento de la población es infinitamente mayor que la capacidad de la tierra para producir alimentos para el hombre.

- La población, si no encuentra obstáculos, aumenta en progresión geométrica.

- Los alimentos sólo aumentan en progresión aritmética

Basta con poseer las más elementales nociones de números para poder apreciar la inmensa diferencia a favor de la primera de estas dos fuerzas".

Nuestro autor imagina lo que ocurriría en la Gran Bretaña en el supuesto que estas dos fuerzas jugaran libremente. Para ser más exacto, en el supuesto que el aumento de la población no encontrara ningún obstáculo, expandiéndose geométricamente por un largo período. Al respecto, supone que la población se duplicaría cada 25 años, lo que corresponde a la experiencia norteamericana de fines del siglo XVIII.

"La población de nuestra isla - dice Malthus - es actualmente de unos siete millones; supongamos que la producción actual baste para mantener esta población. Al cabo de los primeros veinticinco años la población sería de catorce millones, y como el alimento habría también doblado, bastaría a su manutención. En los veinticinco años siguientes la población sería ya de veintiocho millones y el alimento disponible correspondería a una población de tan sólo ventiún millones. En el período siguiente la población sería de cincuenta y seis millones y las subsistencias apenas serian suficientes para la mitad de esa población. Y al término del primer siglo la población habría alcanzado la cifra de ciento doce millones mientras que los víveres producidos corresponderían al sustento de treinta y cinco millones, quedando setenta y siete millones de seres totalmente privados de alimentos".

Dando un paso más, Malthus aplica el mismo razonamiento a nivel mundial.

"Estimando la población del mundo, por ejemplo, en mil millones de seres, la especie humana crecería como los números: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, etcétera, en tanto que las subsistencias lo harían como: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; etc. Al cabo de dos siglos y cuarto la población sería a los medios de subsistencia como 512 es a 10; pasados tres siglos la proporción sería 4096 a 13 y a los dos mil años de diferencia sería prácticamente incalculable a pesar del enorme crecimiento de la producción para entonces"

Las “soluciones” de Malthus

- Estimular el desarrollo de la agricultura

- Limitar la natalidad (de los pobres) mediante el retardo del matrimonio y la continencia”moral restraint”

-Eliminar las “poor laws” (los subsidios para los pobres): “Nos sentimos obligados por la justicia y el honor a negar formalmente que los pobres tengan derecho a ser ayudados”

¿Qué ha sucedido en realidad?

- La población mundial en los dos últimos siglos se ha multiplicado por 6 y el PIB se ha multiplicado por 50. En los últimos 40 años la población mundial se ha duplicado, creciendo a una tasa media anual de 1.8% y el producto real mundial ha crecido con una tasa media del 4%. Es decir el mundo en su conjunto es más rico ¿y sin embargo hay más personas pobres? Quizá haya empeorado la forma de repartir

¿Dónde está el error?

Por un lado Malthus infravaloró la capacidad creativa de la humanidad que llevó a término la revolución industrial y por otro, desde el punto de vista de las matemáticas, se equivocó en sus previsones sobre el aumento de la población porque:

- - No hizo un estudio sistemático de datos poblacionales previos para ver qué función (lineal, exponencial, logística...) se ajustaba mejor a ellos

- - Extrapoló el crecimiento en un periodo muy corto de tiempo (los últimos 25 años)y en un lugar muy concreto (Norteamérica) a otro contexto ( Inglaterra y el planeta), sin tener en cuenta que las condiciones iniciales no eran equivalentes

- - Hizo una extrapolación para valores muy lejanos de los datos que poseía

Actualmente se siguen haciendo estimaciones poblacionales pero a más corto plazo y considerando distintos escenarios :

- Base: manteniendo los valores iniciales hasta el final del periodo

- Optimista: considerando un progresivo auge económico

- Pesimista: previniendo posibles problemas en el periodo

Pero a pesar de todo.....

La doctrina de Malthus revisada : El Neomaltusianismo

El palnteamiento inicial es semejante al de Malthus: " El planeta tierra es limitado. "

Si el crecimiento de la población es indefinido y los recursos (por ejemplo el petróleo) son limitados acabaremos con el planeta (si no lo hemos destruido antes por la contaminación que producimos).

Se recupera la idea central de la doctrina: “El origen de todos los males se encuentra en el exceso de población”

Idea que tiene la virtud de ocultar las causas reales de la pobreza y el hambre. Las clases dirigentes y el sistema político quedan libres de culpas respecto de la pobreza porque las causas de la indigencia no hay que buscarlas en el reparto de la riqueza sino en la fertilidad. De hecho, según esta doctrina, cualquier esfuerzo social o político que se haga para mitigar el sufrimiento es contraproducente porque provoca un incremento de la población.

Se recuperan también los “remedios” (llevándolos a límites inimaginables para Malthus):

"Estimular el desarrollo de la agricultura"

Se dedican grandes superficies en paises del tercer mundo a la producción agrícola...... de productos como café, cacao, destinados a la exportación. Se introducen modernos sistemas de cultivo..... de alimentos trasgénicos que obligan a comprar las semillas cada año –pues las que se producen no son fértiles- a comprar a las mismas empresas los abonos y plagicidas (mediante contratos previos) y a comprar maquinaria ( que aumenta constantemente de precio, al contrario que lo que se produce)

"Limitar la natalidad "

Se potencian políticas y campañas de “salud reproductiva” consistentes en: una primera fase motivadora que inunda con publicidad de “liberación de la mujer –de sus hijos-“ preconizando la anticoncepción, el aborto y la homosexualidad y que presenta el fantasma de la sobrepoblación; una segunda fase de refuerzo, que premia la esterilización; una tercera fase coactiva, (China, India...) en la que superar un determinado número de hijos se configura como un verdadero delito, tan punible como los demás, y en la que se procede a esterilizaciones masivas disfrazadas de vacunaciones.

- "Eliminar los subsidios para los pobres"

Se patentan los medicamentos, se ponen trabas a la producción de genéricos y al acceso a la medicina de los pobres (vuelven a verse grandes mortandades debidas a diarreas o a epidemias hacía tiempo erradicadas). Se favorece la eliminación de las personas improductivas (ya se empieza a oir hablar del “derecho” a una “muerte digna” (eutanasia)y del “derecho” de los niños nacidos con malformaciones a demandar a sus padres por no haberlos abortado). En los países más ricos (USA) sólo tienen acceso a la medicina de calidad aquellos que pueden pagar los seguros más caros. Se distribuyen armamentos y se potencian los conflictos

La riqueza que se produce en los países subdesarrollados sirve para comprar una pequeña clase dirigente.

Los números iluminan la realidad

La mayoría de los pobres de este mundo no han nacido pobres.

Pensemos por ejemplo :

- En la reciente crisis de Argentina, que ha duplicado el número de indigentes

- En la 1ª guerra del golfo, que llevó a la población de Irak de una renta de 3000$ per cápita a una de 200$

- En el fenómeno de la deuda externa, que en un corto periodo de tiempo ha servido para exclavizar países enteros

Ciertamente los recursos son limitados pero no se agotan por causa de un supuesto exceso de población ya que:

- Los 5/6 de la energía producida son consumidos en los países desarrollados

- De hecho sólo el 20% de la población mundial reside en los países del Norte, pero consume el 80 de todos los recursos del planeta.

- Más en concreto los Estados Unidos tienen el 5% de la población mundial, producen el 21% de los bienes y servicios, consumen el 25% de la energía no renovable del mundo, gastan el 33% del papel mundial y generan el 25% de la badura

- Los países ricos importan alimentos de los países pobres (son más baratos).

- La generación viva de los 20 países “desarrollados” ha consumido más que las 460 precedentes y actuales del resto del planeta

- Aún no llega al 9% el porcentaje de la humanidad que viaja en coche

- En el país más rico del mundo hay 10 millones de hambrientos (5%)

- Holanda es el país más poblado (973 personas por km²) y es un país rico, sin embargo en Venezuela con 27 personas por km² y mucho petróleo se pasa hambre.

Alternativas

Está ganando terreno el pensamiento que defiende que las pesimistas doctrinas malthusianas deben definitivamente dar paso a los optimistas principios basados en la creatividad humana.

El instrumento por excelencia para el desarrollo no es la reducción arbitraria de la población, sino la población misma.

El verdadero peligro de la sociedad rica se encuentra en el envejecimiento de la población y la despoblación. La inmigración contribuye a reducir este riesgo.

Por otra parte es necesario desarrollar el pensamiento solidario, dando prioridad al hombre sobre los intereses materialistas. La sociedad occidental no sólo consume lo necesario sino que despilfarra.

¿Qué podemos hacer nosotros al respecto? ¿Qué puede hacer una persona sola?

Pensemos globalmente y actuemos localmente en consecuencia.

Si, por ejemplo, ahorramos 1litro de gasolina porque caminamos en vez de coger el coche o la moto, podemos pensar que no es gran cosa, pero las matemáticas vienen en nuestra ayuda y nos recuerdan que :

1+1+1+1+1+........+1+1+1+1+.......= muchos

El melocotón y las series infinitas

Antes de ver algo relacionado sobre la convergencia o divergencia de algunas series infinitas me voy a comer un melocotón que no este muy maduro.

Hago un corte mas o menos por la mitad…

Y giro las dos partes en sentido contrario…

Al separarlas se queda algo así

Ahora en la parte que tiene el hueso hago también otro corte por la mitad.

Y vuelvo a hacer el mismo movimiento sobre las dos partes, girándolas en sentido contrario.

Y las separo

Ahora hago otro corte del trozo que tiene el hueso por la mitad y las separo de nuevo.

Otro corte y separo.

No sigas haciendo cortes o llegaras a tener entres las manos puré de melocotón y separa simplemente el hueso.

Como ves se queda complemante limpio y separado de los trozos del melocotón.

Bien, si antes de separar el hueso hubiéramos seguido

haciendo cortes por la mitad del trozo con el hueso, un número infinito de veces ( lo indicamos por los 3 puntos).

¿Esa suma infinita de trozos tendrá como resultado ∞?

Si ocurre esto, en matemáticas se diría que la serie es divergente.

O por el contrario,

¿Esa suma infinita de trozos tendrá como resultado un valor finito (que no conozco aún)?

Si ocurre esto, en matemáticas se diria que la serie es convergente.

Actividades: Continua la serie anterior escribiendo 5 términos más.

Los números mayas

Operaciones con números mayas.

Obrim una finestra al món

A partir de vuestras viñetas empezamos a trabajar actividades de matemáticas. Al hacer clic con el ratón sobre la imagen encontrarás una actividad relacionada.

No a la violencia de género.

Ilaria, Aitana y Andrea. IES Catral

¡Cuánto ruido!
María.IES Catral

¡Qué calor!
Aranzazu. IES Catral

No a la talación de árboles.

Krisztina. IES Catral

Toneladas de basura en el mar.
Sergio. IES Catral

Para hacer una tonelada de papel, ¿cuántos árboles se necesitan?

Lauren. IES Catral

¿Cuánta basura somos capaces de generar en un año?
Roxanne. IES Catral



¿Qué está pasando con la explotación del petróleo?
Joaquín. IES Macià Abela

Reflexionando sobre la situación de otros países: Panel de Guatemala

La paradoja del cuadrado

La Paradoja del Cuadrado:

• Dibuja en un papel o cartulina un cuadrado de lado 8 cm
• Recorta los dos triángulos y los dos trapecios como se indica en la figura.

• Coloca los trozos A, B, C y D en la forma en que se indica.
• Resulta un rectángulo de lados: largo = 13 cm., ancho = 5 cm.

• Como el rectángulo se compone de los mismos trozos que el cuadrado, deben tener la misma área. Sin embargo:

Área del cuadrado: 8 cm. x 8 cm. = 64 cm. cuadrados

Área del rectángulo = 13 cm. x 5 cm. = 65 cm cuadrados

¿A que se debe la diferencia de 1 cm. cuadrado?

En realidad, entre el rectángulo de lados 13 cm y 5 cm y el construido con las piezas A, B, C y D queda un pequeño espacio, imposible de detectar a simple vista, de 1 mm de ancho y que en total tiene 1 cm cuadrado, que es la diferencia entre 64 y 65 centímetros cuadrados.

Las sorpresas de este tipo se llaman paradojas de Hooper, porque este autor las presentó en su obra Rational Recreations en 1795

Sam Lloyd mostró ingeniosamente que las piezas pueden disponerse de forma que aparentemente sea 8 x 8 = 63:

La paradoja del cuadrado se debe a Lewis Carroll, matemático y escritor británico cuyo verdadero nombre es Charles Lutmidge Dogson. En su obra “Alicia en el país de las maravillas”, manifiesta su interés por lo absurdo, los acertijos y la confusión.

Raiz cuadrada

Cuadrado de los números de 2 cifras acabados en 9

El cuadrado de los números tipo 19, 29, 39, etc. se puede calcular de manera rápida en tres partes: "Al cuadrado de la decena siguiente le añadimos el 0, restamos el doble de la decena siguiente y añadimos un 1"

Ej. 29²: cuadrado de la decena siguiente 3 x 3 = 9, añadimos el 0, o sea, 90
le restamos el doble de la decena 3 + 3 = 6, es decir, 90 - 6 = 84
le añadimos un 1 >>>> y obtenemos el 841 = 29²
Ej. 49²: cuadrado de la decena siguiente 25 >> 250, restamos el doble de la decena siguiente 10, 250 - 10 = 240, le añadimos un 1 >>> 49² = 2401

Actividad: calcular el cuadrado de 19, 39 y 59 utilizando lo que has aprendido

Cuadrado de números de 2 cifras terminados en 1

El cuadrado de los números tipo 11, 21, 31, etc. se puede calcular de modo rápido en tres partes:"Cuadrado de la decena, el doble de la decena, añadimos un 1"

Ejemplos: 11²: cuadrado de la decena 1 x 1 = 1
el doble de la decena 1 + 1 = 2
le añadimos un 1 >>>> y obtenemos el 121 = 11²
Ej. 31²: cuadrado de la decena 9, el doble de la decena 6, le añadimos un 1 >>> 31² = 961 Si la suma de las decenas pasa de 9, entonces nos llevamos 1 al construir el número:

Ej. 61²: cuadrado de la decena 36, el doble de la decena 12 en este caso, al pasar de 9 la suma nos llevamos 1, o sea, 372, y le añadimos un 1 >> 61² = 3.721

Actividad: calcular el cuadrado 51, 21, 41, utilizando lo que has aprendido

Cuadrado de números de 2 cifras terminados en 5

Un método rápido de calcular números al cuadrado

Comenzaré con el cuadrado de los números de 2 cifras acabados en 5:

El cuadrado de los números tipo 15, 25, 35, etc. se puede hacer de manera muy rápida:"Multiplicando la decena propia por la siguiente y añadiendo un 25 detrás"

Veamos ahora algunos ejemplos:
Ej. 15²: multiplicamos su decena 1 por la siguiente 2, y obtenemos 2
añadimos un 25 detrás y tenemos el 225, que es 15².
Ej. 45² : 4 x 5 = 20, añadimos el 25 y sale 2.025 = 45²
Ej. 65² : 6 x 7 = 42, añadimos el 25 y ya esta el 65² = 4.225 (¿sorprendente o no?)

Actividad: calcular el cuadrado de 25, 35 y 55 utilizando lo que has aprendido

Pasar a segundos

Cono de Apolonio

Operaciones con decimales

El asesinato del profesor de matemáticas

El asesinato del profesor de matemáticas

Historia del número pi

Truco multiplicación.

Edades de las hijas.

Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse.
- ¡Cuánto tiempo sin verte, Edelmiro!
- ¡Vaya!, parece que fue ayer, Chindasvinto.
- Y qué, ¿te casaste?.
- Si, tengo tres hijas preciosas.
- ¿Qué edad tienen?.
- Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36 y que la suma es el número de la casa de enfrente. El amigo saca papel y lápiz, hace unos cálculos y al cabo de unos segundos exclama:
- Me faltan datos.
- Si, claro, la mayor toca el piano.
Y el amigo dio inmediatamente la respuesta. ¿Serías tú capaz de resolver este enigma?.

Tuareg

El tuareg es un solitario que los pueblos nómadas juegan dibujándolo en la arena del desierto del Sáhara.

Para jugar necesitas:
- Un círculo dibujado en la arena o en una hoja de papel con doce puntos (como un reloj)
- Once fichas (canicas, conchas, pernos, piedrecitas, botones ...)

Objetivo del juego:
- Eliminar todas las fichas excepto una.

Empieza la partida:
- Coloca una ficha en cada hoyo excepto en uno, que quedará libre.
- Para eliminar una ficha hay que saltar por encima de ésta( como en las damas), siempre y cuando la casilla de llegada esté libre.
- Este juego es un pequeño rompecabezas que se resuelve rápidamente. Para añadirle dificultad, elige, antes de empezar, la ficha que quieres que quede la última (una piedrecita de otro color o que tenga una forma particular, por ejemplo)

Cuentos del cero

Cuentos del cero.

Números romanos

Pin

La comisión organizadora de la olimpiada regala un "pin" a quién sepa calcular el número de participantes en una prueba, sabiendo que son menos de 70y, que si los colocamos en filas de tres alumnos , nos sobra 1; si los ponemos en filas de cuatro alumnos nos sobran 2 y si lo hacemos en filas de cinco nos sobran 3. ¿Cuántos alumnos participan en la prueba?

Raíces

Eratóstenes y la medición de la Tierra

Eratóstenes de Cirene (273-194 a.C.)
La longitud del meridiano que pasa por los polos terrestres es de 39.942 km. La mejor medida del meridiano en la antigüedad data del año 235 a.C. y la llevó a cabo Eratóstenes, uno de los directores más ilustres de la Biblioteca de Alejandría.
Eratóstenes era de Cirene (Shahhat en la actualidad, en Libia). Nació en el año 273 a.C. en una rica familia, gracias a lo cual pudo tener una educación exquisita en Atenas. Amigo y admirador de Arquímedes fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría, cargo que ocupó más de 40 años. Esta Biblioteca era el mayor centro científico y cultural del mundo con casi 800.000 pergaminos (equivalentes a unos 100.000 libros).

Medición de la circunferencia terrestre
Eratóstenes tenía noticia de un hecho que cada año se producía en una ciudad de Egipto llamada Siena (hoy Asuán). Sucedía que cierto día del año, al mediodía, los obeliscos no producían sombra alguna. El agua de los pozos reflejaba como un espejo la luz del Sol. Hoy sabemos que esto es debido a que Asuán se encuentra en el Trópico de Cáncer y ese día marca el solsticio de verano (este hecho era festivo y muy celebrado por los lugareños).
Sin embargo, Eratóstenes observó que en Alejandría, ese mismo día, los obeliscos sí producían sombra. Eso sólo es posible si La Tierra era redonda, pues el Sol está tan lejos como para considerar que sus rayos inciden paralelamente sobre La Tierra.

Observa el gráfico de arriba donde se muestra el razonamiento al que llegó Eratóstenes.

• Al ser curva la superficie terrestre, en Siena el obelisco no produce sombra alguna, mientras que en Alejandría sí.
• Comprueba que los dos ángulos que se representan son idénticos (una línea recta corta dos rectas paralelas).

Eratóstenes pensó que midiendo la sombra de un obelisco en Alejandría, el mismo día y a la misma hora en que en Siena no proyectaba ninguna sombra, y sabiendo la distancia entre Alejandría y Siena, podría calcularse la circunferencia terrestre, pues da la casualidad de que Siena está al Sur de Alejandría (prácticamente en el mismo meridiano).

Sin embargo, se enfrentaba a dos problemas:

1.- ¿Cómo diablos iba a averiguar la distancia exacta entre Siena y Alejandría?
2.- Si en esa época no había relojes (ni teléfono), ¿cuándo medir la sombra en Alejandría?, pues ha de ser en el preciso momento en que, en Siena, los obeliscos no producen sombra.

¿Se te ocurre alguna idea para ayudar a nuestro pobre Eratóstenes?

Paso 1: Distancia entre Siena y Alejandría
Eratóstenes ordenó (y pagó de su propio bolsillo) a los jefes de caravanas que midieran la distancia entre las dos ciudades. Para ello debían poner esclavos a contar las vueltas de rueda que daban los carros, a extender largas cuerdas a lo largo del camino, a contar pasos, etc. La dificultad radica en que estamos hablando de dos localidades separadas por más de 700 km.
Le salió una media de 5.000 estadios. Cada estadio equivalía a 157’5 metros, por lo que la distancia entre las ciudades la estimó en 787’5 km.

Paso 2: Medición de la sombra
Llegado el día, midió la sombra de un palo que de forma perfectamente vertical había colocado en los jardines de la biblioteca. ¿Cómo saber en qué momento medir la sombra? La respuesta es fácil, sobre el mediodía (cuando el sol está en su punto más alto) se mide la sombra varias veces. La menor sombra corresponderá al momento en que el Sol está en el cénit.

Cálculo matemático tg β = sombra / altura = 0,5053 / 4 = 0,126325 β = arctg 0,126325 = 7,2º

• Al dividir la sombra entre la altura del palo, obtuvo un ángulo de 7,2º.
• Después planteó una sencilla regla de tres. Al multiplicar 787,5 km. x 360º y dividir el resultado entre 7,2º, calculó que la circunferencia terrestre medía 39.375 km.

¡Qué maravilla! Si la medida real es de 39.942 km, el obtuvo una medida de 39.375 km. (sólo se equivocó en 567 km). ¡Qué resultado tan increíble!, teniendo en cuenta la tecnología con la que trabajó para medir distancias y ángulos.

Errores cometidos

Los errores de Eratóstenes fueron muy sutiles y casi inevitables:

Error 1.- La distancia entre Asuán y Alejandría es de 729 km. (4.628 estadios); no de 787’5 km.
Error 2.- Las dos ciudades no están en el mismo meridiano, sino que difieren en unos 3º de longitud.
Error 3.- La medida exacta del ángulo de la sombra en Alejandría es: 7,08º (no 7,20º).

Cometió estas inexactitudes que a lo mejor hasta se compensaron, pero sin duda la labor de medición y el resultado obtenido hace más de 2.240 años fue impresionante.

¿No te parece?

Descifrar números mayas

Lucía. 1ºESO-D

Krisztina.1º ESO-D

Con ayuda de este tablero podemos transformar números mayas a nuestro sistema de numeración. En el tablero se observa cómo funciona un sistema de numeración vigesimal. Coloca en la primera columna el número maya, busca a que número arábigo corresponde cada casilla y haz las multiplicaciones para obtener el resultado

La cuerda

Si mido un rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno, si lo mido de tres en tres, me sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres, si lo mido de cinco en cinco me sobran cuatro y si lo mido de seis en seis me sobran cinco.
Sabiendo que tiene menos de 100 metros,¿podrías decir su longitud?

El hombre que calculaba

El hombre que calculaba.

Pisadas

Pedro midió el largo del terreno de su tío con pasos de 54 cm. Después lo midió el tío con pasos de 72 cm. Quedaron marcadas en total 61 pisadas, pero a veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Pedro y otra de su tío. ¿Cuál es el largo del terreno?

La paradoja del cuadrado

María 3ºESO-D. Catral

Descubrimiento de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

El diablo de los números.

El diablo de los números.
Actividades

El diablo de los números. La sexta noche

Capítulo 6 La sexta noche -Probablemente crees que soy el único -dijo el diablo de los números cuando volvió a aparecer. En esta ocasión estaba sentado en una silla plegable, en medio de un enorme campo de patatas. -¿El único qué? -preguntó Robert. -El único diablo de los números. Pero no es cierto. Soy sólo uno de muchos. Allá de donde vengo, en el paraíso de los números, hay montones de nosotros. Por desgracia no soy el más importante. Los verdaderos jefes están sentados en sus habitaciones, pensando. De vez en cuando uno se ríe y dice algo parecido a: «Rn igual a hn dividido entre función de n por f de n, abre paréntesis, a más theta, cierra paréntesis», y los otros asienten comprensivos y ríen con él. A veces ni si-quiera sé de qué hablan. -Pues para ser un pobre diablo eres bastante engreído -objetó Robert-. ¿Qué quieres, que te compadezca ahora? -¿Por qué crees que me hacen andar por ahí por las noches? Porque los señores de ahí arriba tienen cosas más importantes que hacer que visitar a principiantes como tú, mi querido Robert. -O sea que puedo decir que tengo suerte de poder soñar por lo menos contigo. -Por favor, no me malinterpretes -dijo el amigo de Robert, porque entre tanto se habían hecho ca-si viejos amigos-, lo que cavilan los señores de ahí arriba no es realmente malo. Uno de ellos, al que aprecio especialmente, es Bonatschi. A veces me cuenta lo que va averiguando. Es italiano. Por desgracia hace mucho que ha muerto, pero eso no significa nada para un diablo de los números. Un tipo simpático, el viejo Bonatschi. Por otra parte, fue uno de los primeros que entendieron el cero. Desde luego no lo inventó, pero en cambio se le ocurrió la idea de los números de Bonatschi. ¡Deslumbrante! Como la mayoría de las buenas ideas, su invento empieza con el uno... ya sabes. Más exactamente, con dos unos: 1 + 1 = 2. »Luego coge las dos últimas cifras y las sumas así que... y luego... otra vez las dos últimas... etcétera. -Hasta el aburrimiento. -Naturalmente. Entonces, el diablo de los números empezó a salmodiar los números de Bonatschi; sentado en su silla plegable, cayó en una especie de canturreo. Era la más pura ópera de Bonatschi: -Uno- uno- dos- tres- cinco- ocho- trece- veintiuno- treintaycuatro- cincuentaycinco- ochentaynueve- cientocuarentaycuatro- doscientostreintaytres- trescientossetentaysiete... Robert se tapó los oídos. -Ya paro -dijo el anciano-. Quizá sea mejor que te los escriba, para que puedas aprendértelos. -¿Dónde? -Donde tú quieras. Quizá en un pergamino. Desatornilló el extremo de su bastón y sacó un fino rollo de papel. Lo tiró al suelo y le dio un golpecito. ¡Es increíble la cantidad de papel que había dentro del bastón! Una interminable serpiente que se desenrolló cada vez más y corrió más y más lejos por los surcos del campo, hasta que su extremo desapareció en la lejanía. Y, naturalmente, en el rollo estaba toda la serie de Bonatschi con sus números: A partir de ahí, los números estaban tan lejos y eran tan pequeños que Robert ya no pudo leerlos. -Bueno, ¿y qué? -preguntó Robert. -Si sumas los cinco primeros y añades uno, te sale el séptimo. Si sumas los seis primeros y añades uno, te sale el octavo. Etcétera. -Ya -dijo Robert. No parecía especialmente entusiasmado. -Pero también funciona si te saltas siempre un número de Bonatschi, sólo tienes que tener siempre el primer uno -dijo el diablo de los números. »Mira: (y ahora te saltas uno) (y vuelves a saltarte uno) (y te saltas uno más) sumas esos cuatro, ¿y qué te sale? -Treinta y cuatro -dijo Robert. -O sea el número de Bonatschi que sigue al 21. Si te resulta demasiado trabajoso, también se puede hacer saltando. Por ejemplo, coges el número de Bonatschi número cuatro y lo haces saltar. El cuarto es el 3, y ¿cuánto es 3 2 ? -Nueve -dijo Robert. -Luego coges el siguiente número de Bonatschi, es decir, el quinto, y lo haces saltar. -5 2 = 25 -dijo Robert sin titubear. -Bien, y ahora los sumas. -Otro Bonatschi -exclamó Robert. -Y además, como cuatro más cinco son nueve, el noveno -dijo el anciano frotándose las manos. -Comprendo. Todo estupendo, pero dime para qué sirve. -Oh -dijo el diablo de los números-, no te creas que las Matemáticas son sólo cosa de matemáticos. Tampoco la Naturaleza sale adelante sin números. Incluso los árboles y los moluscos saben contar. -Tonterías -dijo Robert-. ¡Me quieres dar gato por liebre! -También los gatos, supongo. Todos los anima-les. Por lo menos, se comportan como si tuvieran los números de Bonatschi en la cabeza. Es posible que hayan comprendido cómo funcionan. -No me lo creo. -O las liebres. Tomemos mejor las liebres, son más espabiladas que los moluscos. ¡En este campo de patatas tiene que haber liebres! -Yo no veo ninguna -dijo Robert. -Ahí hay dos. De hecho, dos diminutas liebres blancas se acercaron dando brincos y se sentaron a los pies de Robert. -Creo -dijo el anciano- que son un macho y una hembra. Así que tenemos una pareja. Como sabes, todo empieza con el uno. -Quiere convencerme de que sabéis contar -dijo Robert a las liebres-. ¡Esto es demasiado! No le creo una sola palabra. -Ah, Robert, qué sabrás tú de liebres -dijeron las dos liebres al unísono-. ¡No tienes ni idea! Probablemente te has creído que somos liebres de invierno. -Liebres de invierno, claro -repuso Robert, que quería demostrarles que no era tan ignorante como parecía-. Solamente en invierno hay liebres de invierno. -Justo. Nosotras sólo somos blancas mientras somos pequeñas. Pasa un mes hasta que llegamos a ser adultas. Luego nuestra piel se vuelve parda, y queremos tener hijos. Hasta que vienen al mundo, chico y chica, pasa cosa de un mes más. ¡Toma nota de esto! -¿Sólo vais a tener dos? -dijo Robert-. Yo siempre había pensado que las liebres tenían un montón de hijos. -Naturalmente que tenemos un montón de hijos -dijeron las liebres-, pero no de un golpe. Ca-da mes dos, con eso basta. Y nuestros hijos harán exactamente lo mismo. Ya lo verás. -No creo que nos quedemos tanto tiempo aquí. Para entonces me habré despertado hace mucho. Mañana temprano tengo que ir al colegio. -No hay problema -intervino el diablo de los números-. En este campo de patatas el tiempo va mucho más rápido de lo que tú piensas. Un mes dura sólo cinco minutos. Y para que lo creas he traído un reloj de liebre. ¡Mira! Y con estas palabras, sacó un reloj de bolsillo considerablemente grande. Tenía dos orejas de liebre, pero sólo una aguja. -Además, no marca horas, sino meses. Cada vez que pasa un mes, suena el despertador. Cuando aprieto el botón de arriba empieza a correr. ¿Lo hago? -Sí -gritaron las liebres. -Bien. El diablo de los números apretó, el reloj hizo tic-tac, y la aguja empezó a desplazarse. Cuando hubo llegado al uno, sonó el timbre. Había pasa-do un mes, las liebres se habían hecho mucho más grandes y su piel había cambiado de color... ya no eran blancas, se habían vuelto pardas. Cuando la aguja llegó al dos, habían pasado dos meses, y la liebre trajo al mundo dos diminutas liebres blancas. Ahora había allí dos parejas de liebres, las jóvenes y las viejas. Pero estas últimas aún no estaban satisfechas. Querían tener más hijos, y cuando la aguja llegó al tres volvió a sonar el timbre, y la liebre vieja trajo otras dos más al mundo. Robert contó las parejas de liebres. Ahora eran tres: las mayores (pardas), las crías de la primera camada, que entre tanto también habían crecido (y se habían vuelto pardas), y las más jóvenes, con su piel blanca. Entonces la aguja se movió hasta el cuatro, y ocurrió lo siguiente: la liebre mayor trajo al mundo la siguiente parejita, sus primeros hijos también; los segundos tampoco habían sido perezosos, así que ahora eran cinco parejas las que brincaban por el sembrado: una pareja de padres, tres parejas de hijos y una pareja de nietos. Tres parejas eran pardas, y dos blancas. -Yo en tu lugar -dijo el diablo de los números-ya no intentaría diferenciarlas. ¡Vas a tener bastante con contarlas! Cuando el reloj hubo llegado al cinco, Robert ya se las arreglaba bastante bien. Ahora había ocho pares de liebres. Cuando sonó por sexta vez, ya había trece... ¡Un barullo increíble, pensó Robert, adónde irá a parar todo esto! Pero incluso la séptima vez averiguó la cifra: eran exactamente 21 parejas. -¿Se te ocurre algo, Robert? -preguntó el diablo de los números. El reloj de liebre avanzaba implacable. « ¡Socorro!», gritó Robert, «esto nunca se acaba. Miles de liebres... ¡esto ya no tiene gracia, esto es una pesadilla!». -Naturalmente -respondió Robert-. Son números de Bonatschi: Pero, mientras lo decía, habían venido al mundo montones de liebres blancas, que caracoleaban entre las muchas pardas y blancas que brincaban en el campo. No podía verlas y contarlas a todas. El reloj de liebre avanzaba implacable. Hacía mucho que la aguja había empezado su segunda vuelta. -¡Socorro! -gritó Robert-. Esto no se acaba. ¡Miles de liebres! ¡Es espantoso! -Para que veas cómo funciona la cosa, he traído un listado de liebres para ti. En él podrás ver lo que ha pasado entre las cero y las siete horas. -Hace mucho que pasaron las siete -exclamó Robert-. Ahora ya deben de ser por lo menos más de mil. -Son exactamente 4.181, y ahora mismo, es decir, dentro de cinco minutos, serán 6.765. -¿Quieres seguir así, hasta que la Tierra entera esté cubierta de liebres? -preguntó Robert. -Oh, eso no llevaría mucho tiempo -dijo el anciano, sin mover un músculo-. Unas pocas vueltas más de la aguja y habrá ocurrido. -¡Por favor, no! -pidió Robert-. ¡Es una pesadilla! ¿Sabes?, no tengo nada contra las liebres, me gustan incluso, pero lo que es excesivo es excesivo. Tienes que detenerlas. -Encantado, Robert. Pero sólo si admites que las liebres se comportan como si se hubieran aprendido los números de Bonatschi. -Sí, bien, por el amor de Dios, lo admito. Pero date prisa, o acabarán subiéndosenos a la cabeza. El diablo de los números pulsó dos veces la corona del reloj de liebre, y éste empezó a funcionar hacia atrás. Cada vez que sonaba el timbre las liebres disminuían, y al cabo de unas pocas vueltas la aguja volvía a marcar cero. Había dos liebres en el vacío campo de patatas. -¿Qué pasa con éstas? -preguntó el anciano-. ¿Quieres conservarlas? -Mejor que no. De lo contrario, volverán a empezar desde el principio. -Sí, eso es lo que pasa con la Naturaleza -dijo el anciano, columpiándose complacido en su silla plegable. -Eso es lo que pasa con Bonatschi -replicó Robert-. Con tus números todo va siempre a parar al infinito. No sé si me gusta. -Como has visto, a la inversa ocurre exacta-mente igual. Hemos vuelto a aterrizar donde empezamos, en el uno. Y así, se separaron pacíficamente, sin preocuparse de qué ocurriría con la última pareja de liebres. El diablo de los números se fue con Bonatschi, su viejo conocido del paraíso de los números, y con los demás, que tramaban allí nuevas diabluras, y Robert siguió durmiendo, sin soñar, hasta que sonó el despertador. Se alegró de que fuera un despertador corriente, y no un reloj de liebre.