Crucigrama algebraico

Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado.

¡Anímate!

Verticales

1) 3x + 2 = 32
2) x/5 = 16
3) 2x + 8 = 440
5) 2x - 9 = x + 18
8) 9x + 9 = 900
9) ¼ x - 2 = 250
13) x/3 - 11 = x - 233
15) x + 5 = 2x - 80

Horizontales

3) 7x - 4 = 171
4) 8x - 920 = 7,080
6) ½ x + 8 = 88
7) 5x = 35,745

10) 4x - 4 = 3x + 6

11) 5/2 x + 40 = 500

12) x/9 - 43 = 1,000

14) x/7 - 5 = 0

16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8

Fracciones egipcias

¿Por qué sólo emplearon fracciones unitarias?

Salvo la excepcionalidad constituida por el 2/3 y la más tardía del 3/4, los escribas egipcios sólo utilizaron en sus cálculos fracciones unitarias. Ello significa que no generalizaron el concepto numérico de fracción debido, probablemente, a que dicho concepto presentaba unas limitaciones epistemológicas que les impedía verlo como un número. Para explicar por qué hay que remitirse al origen funcional de las fracciones, es decir, los contextos y situaciones en que se inscribe su uso.
Básicamente, la fracción surge en un contexto de medida y en otro de reparto. Supóngase un ejercicio sencillo como dividir dos panes entre ocho personas. Para hacerlo, basta dividir cada uno en cuatro partes (1/4). Más sencillo de efectuar en la práctica sería el dividir cada pan en dos partes iguales y cada una de estas partes en otras dos (1/2 de 1/2 es igual a 1/4). La acción de reparto es particularmente sencilla por este procedimiento de divisiones sucesivas por la mitad, lo que es el motivo de que las fracciones de Horus (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64) hayan sido de uso tan frecuente.
La cuestión se complica si el número de personas entre las que hay que repartir los dos panes es distinto de una potencia de dos. Dividir dos panes entre seis personas, por ejemplo, supondría partir cada pan en dos partes y cada una de ellas en tres partes iguales (1/3 de 1/2 es igual a 1/6). Pero ¿qué sucede cuando el número de personas es impar?. Por ejemplo, un número sencillo como cinco.
En este caso, se puede dividir cada pan en tres partes iguales de manera que, en un primer reparto, se de 1/3 de pan a cada persona. Con ello sobraría una de las tres partes correspondiente a un pan que, a su vez, habría que dividir en cinco partes iguales para repartir por igual. Cada uno de los trozos resultante supondría 1/5 de 1/3 de pan, es decir, 1/15 de pan.
En resumen, cada persona no se llevaría 2/5 de pan sino 1/3 + 1/15 , lo que lleva a establecer para el escriba egipcio la igualdad: 2/5 = 1/3 + 1/15
Dentro del contexto de reparto, por consiguiente, la fracción no es un número susceptible de ser generalizado, sino la expresión de una acción de reparto. Y en el reparto tal como ha sido expuesto sólo son admisibles las fracciones unitarias. Es por ello que, debido al origen de la fracción y a la limitación contextual del mismo, el egipcio nunca pudo superar la noción de la fracción en relación a la acción que la fundamenta.

¿Cómo representaban las fracciones?

Al contar sólo con fracciones unitarias el escriba no necesitaba representar por escrito la fracción como un par de números, tal como hicieron los árabes con el 'número roto'. Para indicar que se estaba tratando de fracciones se dibujaba, en el sistema jeroglífico, el símbolo del 'ro', definido como 1/320 de heqat de grano. Este hecho denota un significado preciso de la fracción. El símbolo del ro consiste en el dibujo de una boca y representa aquella cantidad de grano que puede contener la boca, es decir, un bocado, una ración mínima de grano, una parte. De ahí la relación entre el símbolo (la boca) y el elemento a representar con él (la fracción, la parte de la unidad).
Bajo este símbolo se colocaba el denominador escrito del modo usual como tal cantidad numérica. Dentro de este esquema existían dos excepciones: la mitad tenía un símbolo propio, una especie de U inclinada donde se mostraban los dos brazos iguales de la U (tal vez por las dos partes iguales en que se dividía la unidad). Algo similar sucede con el 2/3, la fracción excepcional, que mostraba o bien un símbolo de ro con dos palos desiguales debajo o el mismo símbolo atravesado por una U invertida con dos brazos desiguales. El sentido de estos signos consiste en reflejar el hecho de que la unidad se dividía en tres partes de las cuales se consideraban dos de ellas (el brazo más corto de la U en relación con el otro).

¿Por qué emplearon el 2/3 como excepción?

La fracción 2/3 constituye la principal excepción en el uso de fracciones unitarias por los escribas egipcios. Al final del Imperio Nuevo se utilizó el 3/4 e incluso aparece el 2/4 en algunos papiros administrativos pero este último a efectos exclusivamente descriptivos, sin llegar a operarse nunca con otros números. De manera que, dentro de la limitación conceptual que suponía entender la fracción como expresión de un reparto ¿qué significado se le debe atribuir a 2/3?.
Una de las acciones matemáticas frecuentes consistía en el cálculo de la capacidad de graneros y depósitos en general. Por ejemplo, el problema 41 del papiro Rhind muestra la forma de hallar el volumen de un granero cilíndrico. Dado que las dimensiones están en codos, el resultado final, 640, resultan ser codos cúbicos, una unidad de volumen.
Pero el volumen ha de transformarse en capacidad de grano y ésta se medía en khar. De manera que la acción a realizar consiste en transformar codos cúbicos en khar. Pues bien, para ello era necesario considerar que: 1 codo cúbico = 1 1/2 khar
de manera que, disponiendo de 640 codos cúbicos se llega al resultado de:
640 x 1 1/2 = 960 khar
De igual manera resultaría necesario transformar khar en codos cúbicos para resolver el problema inverso: Disponer de una cantidad de grano determinada (por ejemplo, 960 khar) y desear calcular el volumen en codos cúbicos del que es necesario disponer para su almacenamiento. Para lo cual hay que tener en cuenta que:
1 khar = 2/3 codo cúbicos
de modo que se llegaría a la solución 960 x 2/3 = 640 codos cúbicos
que permitiría, por ejemplo, sabiendo la superficie de la base del granero, hallar la altura a la que debe llegar el grano.
En resumen, 2/3 es una fracción con una entidad propia por resolver este problema ya que, matemáticamente, resulta ser la inversa de 1 1/2:
2/3 x 1 1/2 = 2/3 x 3/2 = 1
Esto significa que 2/3 no es una fracción expresión de un reparto, como en el caso de las fracciones unitarias, sino que tiene una naturaleza de tipo operativo: Es el operador por el que hay que multiplicar los codos cúbicos para obtener su expresión en khar.

¿Cómo calculaban los 2/3 de una cantidad?

Cuestión distinta es la forma de realizar este cálculo. Dada la importancia de la fracción 2/3 en la vida administrativa y económica, el papiro Rhind le dedica, también de forma excepcional, una regla operativa.

Problema 61B: (Regla para) tomar 2/3 de una fracción desigual (es decir, la recíproca de un número impar). Si te dicen ¿Cuál es 2/3 de 5?, tomas los recíprocas de dos veces 5 y seis veces 5. Tú haces lo mismo para hallar 2/3 del recíproco de cualquier número impar.

Lo que se viene a decir es que, para hallar 2/3 de 1/5, se deben considerar 1/(2 x 5) + 1/(6 x 5) y, de forma general, 2/3 de 1/n = 1/2n + 1/6n , con n impar
La forma en que se llega a esta regla procede de nuevo de la idea de reparto. Si se quieren dividir dos panes entre tres personas, lo más sencillo consiste en dividir cada pan en dos partes iguales. Tras dar 1/2 a cada una sobre una mitad que, a su vez, se divide en tres partes iguales cada una de las cuales (1/3 de 1/2 igual a 1/6) se da a cada persona para concluir el reparto. En otras palabras, se llega a que
2/3 = 1/2 + 1/6
de modo que, para hallar los 2/3 de cualquier número (incluidos los de la forma 1/n con n impar), basta hallar la mitad de ese número y luego la tercera parte de esa mitad añadiéndosela a la anterior. Obsérvese cómo la naturaleza conceptual de la fracción propia de los egipcios impide la acción más sencilla de hallar una tercera parte de dicha cantidad original repitiéndola de nuevo (1/3 + 1/3 = 2/3). Ello significaría tratar a las fracciones como números generalizables, consideración no coherente con el marco conceptual en que habían construido el concepto de fracción.

¿Para qué necesitaban sumar fracciones unitarias?

Además del mero hecho de sumar filas contables de pesos, capacidades o volúmenes, por ejemplo, que en muchas ocasiones aparecían en forma de fracción, la suma de fracciones unitarias resultaba de la mayoría de las operaciones de multiplicación teniendo por objetivo la simplificación del resultado. Es obvio que si el escriba no dispone de una noción generalizable de la fracción como número y, en vez de utilizar directamente por ejemplo la fracción 2/3, debe considerar la composición de 1/2 + 1/6, ello supondrá la aparición de múltiples fracciones unitarias. Al no poder simplificar al modo actual deben establecer resultados más simplificados a partir de las sumas de fracciones.
Un caso sencillo consistiría en multiplicar 6 1/4 1/8 x 2 1/2 1/4 que se realizaría así:

1 6 1/4 1/8
2 12 1/2 1/4
1/2 3 1/8 1/16
1/4 1 1/2 1/16 1/32
2 1/2 1/4 16 1/2 1/2 1/4 1/8 1/16 1/16 1/32

resultado que puede simplificarse con rapidez:
16 (1/2 1/2) 1/4 1/8 (1/16 1/16) 1/32 = 17 1/4 (1/8 1/8) 1/32 = 17 (1/4 1/4) 1/32 = 17 1/2 1/32

Un caso más complejo consistiría en realizar la multiplicación 1 1/2 1/4 x 1/7

1 1/7
1/2 1/14
1/4 1/28
1 1/2 1/4 1/7 1/14 1/28 = 1/4

simplificación que, siendo cierta, no es nada obvia y habrá de justificarse en la siguiente página.

Un poquito de historia del álgebra.

¿Sabías que el álgebra que se estudia en secundaria es muy antigua?

Aquí encontrarás algunos pasajes de su historia.

Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas

En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significaEl Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.
Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día:
Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.