Salvo la excepcionalidad constituida por el 2/3 y la más tardía del 3/4, los escribas egipcios sólo utilizaron en sus cálculos fracciones unitarias. Ello significa que no generalizaron el concepto numérico de fracción debido, probablemente, a que dicho concepto presentaba unas limitaciones epistemológicas que les impedía verlo como un número. Para explicar por qué hay que remitirse al origen funcional de las fracciones, es decir, los contextos y situaciones en que se inscribe su uso.
Básicamente, la fracción surge en un contexto de medida y en otro de reparto. Supóngase un ejercicio sencillo como dividir dos panes entre ocho personas. Para hacerlo, basta dividir cada uno en cuatro partes (1/4). Más sencillo de efectuar en la práctica sería el dividir cada pan en dos partes iguales y cada una de estas partes en otras dos (1/2 de 1/2 es igual a 1/4). La acción de reparto es particularmente sencilla por este procedimiento de divisiones sucesivas por la mitad, lo que es el motivo de que las fracciones de Horus (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64) hayan sido de uso tan frecuente.
La cuestión se complica si el número de personas entre las que hay que repartir los dos panes es distinto de una potencia de dos. Dividir dos panes entre seis personas, por ejemplo, supondría partir cada pan en dos partes y cada una de ellas en tres partes iguales (1/3 de 1/2 es igual a 1/6). Pero ¿qué sucede cuando el número de personas es impar?. Por ejemplo, un número sencillo como cinco.
En este caso, se puede dividir cada pan en tres partes iguales de manera que, en un primer reparto, se de 1/3 de pan a cada persona. Con ello sobraría una de las tres partes correspondiente a un pan que, a su vez, habría que dividir en cinco partes iguales para repartir por igual. Cada uno de los trozos resultante supondría 1/5 de 1/3 de pan, es decir, 1/15 de pan.
En resumen, cada persona no se llevaría 2/5 de pan sino 1/3 + 1/15 , lo que lleva a establecer para el escriba egipcio la igualdad: 2/5 = 1/3 + 1/15
Dentro del contexto de reparto, por consiguiente, la fracción no es un número susceptible de ser generalizado, sino la expresión de una acción de reparto. Y en el reparto tal como ha sido expuesto sólo son admisibles las fracciones unitarias. Es por ello que, debido al origen de la fracción y a la limitación contextual del mismo, el egipcio nunca pudo superar la noción de la fracción en relación a la acción que la fundamenta.
Al contar sólo con fracciones unitarias el escriba no necesitaba representar por escrito la fracción como un par de números, tal como hicieron los árabes con el 'número roto'. Para indicar que se estaba tratando de fracciones se dibujaba, en el sistema jeroglífico, el símbolo del 'ro', definido como 1/320 de heqat de grano. Este hecho denota un significado preciso de la fracción. El símbolo del ro consiste en el dibujo de una boca y representa aquella cantidad de grano que puede contener la boca, es decir, un bocado, una ración mínima de grano, una parte. De ahí la relación entre el símbolo (la boca) y el elemento a representar con él (la fracción, la parte de la unidad).
Bajo este símbolo se colocaba el denominador escrito del modo usual como tal cantidad numérica. Dentro de este esquema existían dos excepciones: la mitad tenía un símbolo propio, una especie de U inclinada donde se mostraban los dos brazos iguales de la U (tal vez por las dos partes iguales en que se dividía la unidad). Algo similar sucede con el 2/3, la fracción excepcional, que mostraba o bien un símbolo de ro con dos palos desiguales debajo o el mismo símbolo atravesado por una U invertida con dos brazos desiguales. El sentido de estos signos consiste en reflejar el hecho de que la unidad se dividía en tres partes de las cuales se consideraban dos de ellas (el brazo más corto de la U en relación con el otro).
La fracción 2/3 constituye la principal excepción en el uso de fracciones unitarias por los escribas egipcios. Al final del Imperio Nuevo se utilizó el 3/4 e incluso aparece el 2/4 en algunos papiros administrativos pero este último a efectos exclusivamente descriptivos, sin llegar a operarse nunca con otros números. De manera que, dentro de la limitación conceptual que suponía entender la fracción como expresión de un reparto ¿qué significado se le debe atribuir a 2/3?.
Pero el volumen ha de transformarse en capacidad de grano y ésta se medía en khar. De manera que la acción a realizar consiste en transformar codos cúbicos en khar. Pues bien, para ello era necesario considerar que: 1 codo cúbico = 1 1/2 khar
de manera que, disponiendo de 640 codos cúbicos se llega al resultado de:
640 x 1 1/2 = 960 khar
De igual manera resultaría necesario transformar khar en codos cúbicos para resolver el problema inverso: Disponer de una cantidad de grano determinada (por ejemplo, 960 khar) y desear calcular el volumen en codos cúbicos del que es necesario disponer para su almacenamiento. Para lo cual hay que tener en cuenta que:
1 khar = 2/3 codo cúbicos
de modo que se llegaría a la solución 960 x 2/3 = 640 codos cúbicos
que permitiría, por ejemplo, sabiendo la superficie de la base del granero, hallar la altura a la que debe llegar el grano.
En resumen, 2/3 es una fracción con una entidad propia por resolver este problema ya que, matemáticamente, resulta ser la inversa de 1 1/2:
2/3 x 1 1/2 = 2/3 x 3/2 = 1
Esto significa que 2/3 no es una fracción expresión de un reparto, como en el caso de las fracciones unitarias, sino que tiene una naturaleza de tipo operativo: Es el operador por el que hay que multiplicar los codos cúbicos para obtener su expresión en khar.
Cuestión distinta es la forma de realizar este cálculo. Dada la importancia de la fracción 2/3 en la vida administrativa y económica, el papiro Rhind le dedica, también de forma excepcional, una regla operativa.
Problema 61B: (Regla para) tomar 2/3 de una fracción desigual (es decir, la recíproca de un número impar). Si te dicen ¿Cuál es 2/3 de 5?, tomas los recíprocas de dos veces 5 y seis veces 5. Tú haces lo mismo para hallar 2/3 del recíproco de cualquier número impar.
Lo que se viene a decir es que, para hallar 2/3 de 1/5, se deben considerar 1/(2 x 5) + 1/(6 x 5) y, de forma general, 2/3 de 1/n = 1/2n + 1/6n , con n impar
2/3 = 1/2 + 1/6
de modo que, para hallar los 2/3 de cualquier número (incluidos los de la forma 1/n con n impar), basta hallar la mitad de ese número y luego la tercera parte de esa mitad añadiéndosela a la anterior. Obsérvese cómo la naturaleza conceptual de la fracción propia de los egipcios impide la acción más sencilla de hallar una tercera parte de dicha cantidad original repitiéndola de nuevo (1/3 + 1/3 = 2/3). Ello significaría tratar a las fracciones como números generalizables, consideración no coherente con el marco conceptual en que habían construido el concepto de fracción.
Además del mero hecho de sumar filas contables de pesos, capacidades o volúmenes, por ejemplo, que en muchas ocasiones aparecían en forma de fracción, la suma de fracciones unitarias resultaba de la mayoría de las operaciones de multiplicación teniendo por objetivo la simplificación del resultado. Es obvio que si el escriba no dispone de una noción generalizable de la fracción como número y, en vez de utilizar directamente por ejemplo la fracción 2/3, debe considerar la composición de 1/2 + 1/6, ello supondrá la aparición de múltiples fracciones unitarias. Al no poder simplificar al modo actual deben establecer resultados más simplificados a partir de las sumas de fracciones.
Un caso sencillo consistiría en multiplicar 6 1/4 1/8 x 2 1/2 1/4 que se realizaría así:
1 6 1/4 1/8
2 12 1/2 1/4
1/2 3 1/8 1/16
1/4 1 1/2 1/16 1/32
2 1/2 1/4 16 1/2 1/2 1/4 1/8 1/16 1/16 1/32
resultado que puede simplificarse con rapidez:
16 (1/2 1/2) 1/4 1/8 (1/16 1/16) 1/32 = 17 1/4 (1/8 1/8) 1/32 = 17 (1/4 1/4) 1/32 = 17 1/2 1/32
Un caso más complejo consistiría en realizar la multiplicación 1 1/2 1/4 x 1/7
1 1/7
1/2 1/14
1/4 1/28
1 1/2 1/4 1/7 1/14 1/28 = 1/4
simplificación que, siendo cierta, no es nada obvia y habrá de justificarse en la siguiente página.
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